数学上下三万年(四):欧洲资产阶级革命开启

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从今天起,我们将连载这部数学编年史。本文是翻译版本,因为工作量巨大,必有疏漏(包括原文也会有错误),欢迎指正。

这应该是网上最全的数学编年史,从公元前30000年到公元2000年,哆嗒数学网为你奉献。

本期发布的编年史涵盖1640年到1800年的内容。1640年,应该开始资产阶级革命。而中国在此时进入清朝。本期四大数学家出场三个:牛顿、欧拉、高斯。

本期出场人物有:帕斯卡、费马、托里拆利、惠更斯、胡克、牛顿、莱布尼兹、伯努利家族、泰勒、棣莫弗、欧拉、阿涅西、拉格朗日、高斯等。

帕斯卡(Pascal)制造了一台计算器帮助他父亲进行税务计算。它只能做加法。

托里拆利(Torricelli)出版了《几何操作》(Opera geometrica),包括了他在抛射体方面的成果。他研究了费马点(到三角形三个顶点距离之和最短的点)。

费马(Fermat)声称他证明了一个定理但页边没有足够的空位写下证明的细节。这就是后世所知的费马大定理:当正整数n2时,关于x,y,z的不定方程x^n + y^n = z^n 没有非零整数解。这个定理最终在1994年由怀尔斯证明。

威尔金斯(Wilkins)出版了《数学的魔法》(Mathematical Magic),给出了一些机械装置的说明。

亚伯拉罕·博斯(Abraham Bosse)出版了一本著作,其中包含了著名的“笛沙格定理”:当两个三角形是透视时,则其对应边的交点共线年

凡司顿(Van Schooten)出版了《笛卡尔几何》的第一个拉丁文版本。

德博纳(De Beaune)撰写了《简明注释》(Notes brièves),它包含了很多“笛卡尔几何”的成果,特别是给出了现在熟知的双曲线,抛物线年

德·维特(De Witt)完成了《曲线论》(Elementa curvarum linearum)。它是首次对直线和圆锥曲线的解析几何的系统性发展。这本书直到1661年才发表,出现在凡司顿的主要著作的附录中。

帕斯卡出版了关于帕斯卡三角形的《论算术三角》(Treatise on the Arithmetical Triangle)。帕斯卡三角形已被很多早期数学家研究过。

帕斯卡出版了关于流体静力学的《论液体平衡》(Treatise on the Equilibrium of Liquids)。他认识到力通过流体均等地向各个方向传递,并给出帕斯卡压力定律。

1655年,布隆克尔(Brouncker)给出了4/π 的一个连分数展开。他也给出了双曲线的求积法,这个成果在三年后发表。
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沃利斯(Wallis)出版了《无穷小算术》(Arithmetica infinitorum),其中使用了插值法计算积分。

1657年,惠更斯出版了《论赌博中的计算》(De ratiociniis in ludi aleae)。这是第一本关于概率论的出版著作,基于费马和帕斯卡在1654年的信件中的想法首次概述了数学期望的概念。

拉恩(Rahn)出版了《代数》(Teutsche algebra),其中包含了÷(除号),这个符号可能是佩尔(Pell)所发明。

德·斯路斯(De Sluze)在他的作品中讨论了螺线,拐点,以及求几何平均。他研究了被帕斯卡命名为“斯路斯明珠”的曲线年

凡司顿(Van Schooten)出版了第二卷,也是最后一卷的《笛卡尔几何》(Geometria a Renato Des Cartes)。这项工作将解析几何确立为一个重要的数学专题。这本书还包括他的三位弟子德·维特(de Witt),胡德(Hudde)和休雷特(Heuraet)所做的附录。

詹姆斯·格雷戈里出版了《几何的通用部分》(Geometriae pars universalis),这是撰写微积分教科书的首次尝试。

沃利斯(Wallis)出版了《力学》(Mechanica),这是一份对力学的详细数学研究。

巴罗出版了《几何学讲义》(Lectiones Geometricae),其中包含了他关于切线的重要工作,这形成了牛顿微积分工作的起点。

詹姆斯·格雷戈里(James Gregory)发现了泰勒定理并将自己的发现写信告诉柯林斯(Collins)。他用arctan(x)的级数展开得到了的π/4的级数。

莫尔(Mohr)出版了《欧几里得》(Euclides danicus),其中他展示了所有单用圆规也能作出的用尺规能作出的欧氏几何结构。

莱布尼茨(Leibniz)向皇家学会演示了他的半成品计算器。它能够做乘法,除法,开方。

惠更斯出版了《钟摆论》(Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum)。除了钟摆的工作之外,他还研究了曲线的渐屈线和渐伸线,并发现旋轮线和抛物线年

拉海尔(La Hire)出版了《圆锥曲线》(Sectiones conicae),这是关于圆锥曲线年

科克尔(Cocker)的《算术》(Arithmetic)在他去世两年后出版。这本书在大约100年的时期里达到了100个版本以上。

卡西尼(Cassini)研究了“卡西尼卵形线”,是平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹

钦豪斯(Tschirnhaus)研究了反射焦散曲线:一个光源发出的光线从一条给定曲线的反射光线年

関孝和在他发表的著作中首次引入了行列式。他研究了ax – by = 1的整数解,其中a,b是整数。

莱布尼茨在《一种求极大值与极小值和求切线的新方法》(Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus)中发表了他的微积分的详述。它包含了我们熟悉的d记号(微分),以及计算幂、积、商的导数的法则。

沃利斯(Wallis)出版了《代数》(De Algebra),包含了牛顿二项式定理的最早描述。它也使哈利奥特的卓越贡献为人所知。

牛顿出版了《自然哲学的数学原理》(The Principia or Philosophiae naturalis principia mathematica)。这本书被公认为有史以来最伟大的科学著作。牛顿提出了关于运动,重力和力学的理论。他的理论解释了彗星的偏心轨道,潮汐及其变化,地球轴线的进动和月球的运动。

雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)首次使用“积分”一词描述曲线年

罗尔(Rolle)出版了关于方程理论的《代数学》(Traité dalgèbre)。

雅各布·伯努利发明了极坐标,一种使用角度和距离描述空间中点的位置的方法。

罗尔出版了《等式解法》(Méthods pour résoudre les égalités),其中包含了罗尔定理。他的证明使用了胡德(Hudde)的方法。

哈雷(Halley)出版了波兰城市布雷斯劳(现弗罗茨瓦夫)的死亡率表。他试图将人口中的死亡率和年龄相关联,并证明在未来人寿保险精算表的生产中具有非常大的影响力。

约翰·伯努利(Johann Bernoulli)提出了最速降线问题(Brachristochrone),并挑战其他人来解决这个问题。约翰·伯努利,雅各布·伯努利和莱布尼兹都解决了这个问题。

琼斯(Jones)在他的《新数学引论》(Synopsis palmariorum matheseos)中引入了希腊字母π来表示圆周长和直径之比。

牛顿出版了《广义算术》(Arithmetica universalis),包含了他在代数学的成果的汇编。

阿布丝诺(Arbuthnot)在皇家学会发表了一份重要的统计报告,其中讨论了男婴出生率轻微超越了女婴出生率。这篇论文是概率在社会统计的首次应用。

乔瓦尼·塞瓦(Giovanni Ceva)出版了《关于金钱问题》(De Re Nummeraria),数理经济学的最早期作品之一。

雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)的书《猜想的艺术》(Ars conjectandi)是概率的重要工作。它包含了出现在指数级数讨论中的伯努利数。

布鲁克·泰勒(Brook Taylor)发表了《增量的直接与间接方法》(Methodus incrementorum directa et inversa),这是对微积分的重要贡献。该书讨论了微分方程的奇异解,变量替换公式,以及函数导数与反函数导数的关联。还有关于振动弦的讨论。

约翰·伯努利(Johann Bernoulli)表明虚移位的原理适用于所有的均衡情况。

雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)关于变分法的工作在他去世后发表。

棣莫弗(De Moivre)出版了《机会的学说》(The Doctrine of Chances)。统计独立性的定义与骰子和其他游戏的许多问题一起在该书出现。他还研究了死亡率统计数字和年金理论的基础。

科茨(Cotes)未完成工作在他去世后发表为《调和计算》(Harmonia mensurarum)。它涉及有理函数的整合。它包含了微积分应用于对数和圆函数的彻底处理。

雅各布·黎卡提(Jacopo Riccati)在一篇论文中研究了黎卡提微分方程。他对雅各布·伯努利首先研究过的方程的某些特殊情形给出解法。

格兰迪(Grandi)出版了《几何之花》(Flora geometrica)。他给出了形如花瓣和花叶的曲线的几何定义。例如,玫瑰曲线被这样命名是因为它们看起来像玫瑰,而克利曲线(Clelia curve)是以伯爵夫人克利·博罗梅奥(Clelia Borromeo)命名的,他将他的书献给了伯爵夫人。

欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题。他在数学上证明了不可能设计出一种走法使得七条桥都恰好通过一次。

欧拉出版了《力学》(Mechanica),这是第一本基于微分方程的力学教科书。

辛普森(Simpson)为他的私人学生出版了《论流数》(Treatise on Fluxions)。在书中他使用无穷级数来求函数的定积分。

丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)发表了《流体力学》(Hydrodynamica)。它首次给出了从容器的孔流出的水的正确分析,并讨论了泵和其他机械来使水升高。他在第10章中给出了气体动力学理论的基础。

麦克劳林(Maclaurin)因他在运用引力理论解释潮汐现象的工作获得了法国科学院的头等奖。

麦克劳林出版了《论流数》(Treatise on Fluxions),旨在通过采用希腊几何的方法为微积分提供严格的基础。这是牛顿方法的第一个系统性的阐述,这些方法是作为对贝克莱对微积分缺乏严格基础的攻击的答复。

哥德巴赫(Goldbach)在一封写给欧拉的信中猜想每个大于或等于4的偶数可以写成两个素数之和。哥德巴赫猜想仍然没有被证实。

达朗贝尔(DAlembert)出版了《动力学》(Traité de dynamique)。在这部著名的作品中,他阐述了他的原理:运动中的刚体系统的内部行为和反应是处于平衡状态的。

达朗贝尔(DAlembert)在首次尝试证明代数基本定理的过程中,进一步发展了复数理论。

达朗贝尔在《关于风的一般成因的沉思》(Réflexion sur la cause générale des vents)使用偏微分方程研究风,因此获得普鲁士科学院奖。

阿涅西(Agnesi)写了《分析讲义》(Instituzioni analitiche ad uso della giovent italiana),这是一本意大利语的微积分教材。这本书包含了许多精心挑选的例子来说明想法。其中研究了一条被称为“阿涅西的女巫”的曲线年

欧拉出版了《无穷的分析》(Analysis Infinitorum),coulomb这是数学分析的入门。他定义了函数并表明数学分析是函数的研究。这项工作是将微积分基于初等函数的理论而不是几何曲线。著名的公式e^(πi) = -1在这本书中首次出现。

达朗贝尔研究了“三体问题”并将微积分应用到天体力学。欧拉、拉格朗日和拉普拉斯也进行三体问题的工作。

克莱姆(Cramer)出版了《代数曲线分析导论》(Introduction à lanalyse des lignes courbes algébraique)。这本书研究曲线。在第三章研究了曲线的一个分类并给出了著名的“克莱姆法则”。

法尼亚诺(Giulio Fagnano)在《数学成果》(Produzioni matematiche)发表了他以前的大部分工作。它包含了双纽线的显著性质以及积分的加倍公式。欧拉利用这个公式证明了椭圆积分的加法公式。

西姆松(Simson)注意到斐波那契数列中相邻两项之比趋近于黄金分割比例。

拉格朗日(Lagrange)对等时降线做出了重要的发现,这将大大推动变分法这个新学科。

以拉格朗日为首的一批科学家,在意大利成立了一个数学协会,这是都灵皇家科学院的前身。

1758年12月25日,哈雷彗星的出现印证了哈雷的预测。此时哈雷已去世15年。

兰伯特(Lambert)证明了π是无理数。他在1768年发表了一个更一般的结果。

兰伯特撰写了《平行线理论》(Theorie der Parallellinien),它是对平行公设的研究。他通过假定平行公设是错的,从而推导出了大量关于非欧几何的结果。

达朗贝尔把因未能证明平行公设而造成的初等几何的问题成称为“初等几何的丑闻”。

欧拉提出了欧拉猜想,即三个四次幂的和不是一个四次幂,四个五次幂的和不是一个五次幂,高次幂依此类推。

拉格朗日出版了《关于方程代数解的思考》(Réflexions sur la résolution algébrique des équations),这是一个对于最高次数为四次的方程存在根式解的原因的基础研究。该论文首先将方程的根视为抽象量而不是数字。他研究了根的置换,这项工作导致了群论。

拉格朗日证明了威尔逊定理(首先由华林(Waring)提出但未给出证明),即n是素数当且仅当(n – 1)! + 1被n整除。

布丰(Buffon)使用一种数学与科学的方法来计算地球的年龄大约为75000年。

1777年,欧拉在一份手稿中引入符号i表示-1的平方根,这跟手稿直到1794年才出版。

1777年,布丰(Buffon)实施了他的概率实验:通过将小棍子投掷到瓷砖地板上,并计算小棍子与瓷砖线条的相交次数,从而计算π。

1779年,裴蜀(Bézout)出版了关于方程理论的《代数方程通论》(Théorie générale des équation algébraiques)。这本书包含了一个现在被称为“裴蜀定理”的结果。

拉格朗日出版了《分析力学》(Mécanique analytique)。它总结了自牛顿时期以来在力学领域完成的所有工作,值得注意的是它使用微分方程理论。通过这项工作,拉格朗日将力学转化为数学分析的一个分支。

德·普隆尼(De Prony)开始主要制作《地籍图》(Cadastre)。它由精确到14至29位小数的对数与三角函数表组成。

勒让德出版了关于几何的《几何学原理》(Eléments de géométrie),它将是接下来100年的重要著作。它将在欧洲大部分地区以及随后的译本和在美国取代欧几里得的《几何原本》作为教科书。它成为后来的几何课本的原型。

拉普拉斯(Laplace)在《宇宙系统论》(Exposition du systeme du monde)提出了着名的星云假说,它将太阳系视为起源于大型、扁平和缓慢旋转的炽热气体的收缩和冷却。

蒙日(Monge)出版了《画法几何学》(Géométrie deive),描述了正投影,这是现代机械制图中使用的图形化方法。

鲁菲尼(Ruffini)发表了高于四次的代数方程没有根式解的第一个证明。这个证明以及他后来在1803年,1808年和1813年发表的进一步的证明很大程度上都被忽视了。

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